式の計算 数と式 数学I

関数の定義と方程式の変形規則を復習。方程式を解くとは何か。

高校数学に入る前に、中学校で習った中学数学の復習から始めます。

中学数学があやふやなままで高校数学を理解することは出来ません。実は高校で習うことの中には、すでに中学校で習っているものも少なくないのです。

そのため、高校では中学数学で扱ったものは理解していることを前提として授業は進んでしまいます。前提となる知識をしっかりと身に着けていないと、いきなり置いていかれることになります。

今回は、多くの人が理解していない関数と、方程式について学びます。

関数

中学校の数学では、計算や図形について主に学びました。2次方程式を解く計算の練習をしたり、円や四角形などの図形の性質を覚えたりすることが基本です。

このように、数や図形の性質のことを広い意味で関係と言います。

数学には、あらゆるところに関係が見られます。「三角形\textrm{ABC}と三角形\textrm{DEF}が合同」であることも関係ですし、「abの約数である」というのも関係です。

関係は、数学とは切っても切り離せない仲です。

比例関係

中学数学で最も代表的な関係は、比例関係です。

比例関係とは、2つの数xyがあるときに、例えばx : y = 1 : 3のような比の関係が成り立つことを言います。

このとき、yは常にx3倍になっているので、y = 3xと書くことも出来ます。

いま、xの値が変わると、yの値もただひとつに決まります。x = 2のときはy = 6であり、x = -7のときはy = -21です。

このように、xの値に応じてyの値がただひとつに決まるとき、yx関数であると言います。yの値はただひとつに決まらなければ関数とは言えないことに注意して下さい。

方程式を解くというのはどういうことか

中学数学でも、方程式を解く練習をしました。例えば、x^2+x-2 = 0を解け、という問題をやったことがあると思います。

方程式の定義から復習します。方程式とは、ある特定の値を代入したときだけ成り立つ式のことです。

例えば、上に挙げたx^2+x-2 = 0は、x = 1x = -2を代入したときには
\begin{aligned} & 1^2+1-2 = 0\\ & (-2)^2+(-2)-2=0 \end{aligned} より成立します。しかし、x = 3を代入したときは
3^2+3-2=10 より成立しません。これが方程式です。

方程式を解くというのは、与えられた方程式を満たす値をすべて見つけて下さい、ということです。したがって、上の問題ならば
x = 1 \quad\text{\small または}\quad x = -2 と答えるのが正解です。

方程式の変形規則

方程式を解くということは、与えられた式を満たす文字の値を見つけることでした。これは、中学数学でも高校数学でも変わりません。

中学数学では、方程式を解くときには次の法則を使うことが出来ます。

[box04 title="基本的な計算法則"]

  • 加法の結合法則 (a+b)+c=a+(b+c)
  • 加法の交換法則 a+b=b+a
  • 乗法の結合法則 (a\times b)\times c = a\times (b\times c)
  • 乗法の交換法則 a\times b = b\times a
  • 分配法則 (a+b)\times c=a \times c + b\times c

[/box04]

これは加法と乗法においては結合法則と交換法則が成り立ち、また加法と乗法の間では分配法則が成り立つという計算の基本中の基本の法則です。この法則は、証明なしに認めることにします。

[box04 title="方程式の変形規則"]
A=Bがあるとき、以下の式が導かれる。

  1. A+C=B+C
  2. A-C=B-C
  3. AC=BC
  4. \dfrac{A}{C}=\dfrac{B}{C}\quad (C\neq 0)
  5. B=A

[/box04]

両辺に同じ数を足すか引くか掛けるか割るか、を行って構いません。また、両辺を引っくり返しても構いません。

この法則を使ってみます。A+C=Bという式があるとき、両辺からCを引けば
A=B-C を導くことが出来ます。これは、左辺のCを右辺に移動させたときに-Cに変えた操作と見ることが出来ます。これを移項と言います。

中学数学では、

  • 基本的な計算法則
  • 方程式の変形規則
  • 移項

の3つの法則を用いて、方程式を変形し
x=a の形に変形することを目指します。

まとめ

中学数学で学んだ関数と方程式について復習しました。高校数学からは、関数や方程式の種類が中学数学とは比べ物にならないほど増えます。

しかし、高校数学でも基礎となるのは中学校で学んだ数学です。知っていたと思うことでも、改めて定義を覚えて下さい。

[box02 title="まとめ"]

xの値に応じてyの値がただひとつに決まるとき、yxの関数である。

方程式を満たす値を見つけることを、方程式を解くという。

[/box02]

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岡田

ラディカル高校数学管理人の岡田です。地方公立高校から一浪して東京大学理科一類に合格。現在工学部在学中。都内で塾講師として高校数学を教え、100人以上の生徒を見てきました。自分の経験を活かして高校数学をわかりやすく教える活動をしています!

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