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点と直線の距離の公式を法線ベクトルから求める

直線l

l:ax+by+c=0

l上にない点\textrm{P}(x_0,\,y_0)があります。\textrm{P}からlに下ろした垂線の足\textrm{H}について考えましょう。

ある点から直線に対して垂線を引いたときの交点のことを垂線の足と言います。

直線ax+by+c=0が関係する問題のときには、法線ベクトルを考えることが基本です。今回も、法線ベクトルから考えていきます。

直線の方程式から法線ベクトルを読み取る

直線lの方程式

ax+by+c=0

を見たときに大切なのは、ここから法線ベクトルを読み取ることです。直線lの法線ベクトル\bm n

\bm n=\dbinom{\,a\,}{b}

です。この法線ベクトルは直ちに読み取らないといけません。詳細は次の記事をお読みください。

\textrm{P}から直線lに垂線を降ろすには、\textrm{P}を出発して直線lにぶつかるまで法線ベクトル\bm nと平行に進んでいきますしたがって、実数tを媒介変数として

\begin{aligned} \overrightarrow{\textrm{OH}}&=\overrightarrow{\textrm{OP}}+t\bm n\\ &=\dbinom{\,x_0\,}{y_0}+t\dbinom{\,a\,}{b}\\ &=\dbinom{\,x_0+at\,}{y_0+at} \end{aligned}

と表せます。

あとは、この媒介変数tの値を求めることが出来れば、\textrm{H}の座標値がわかります。\textrm{H}l上にあるので、この成分を直線lの方程式に代入して

\begin{aligned} &a(x_0+at)+b(y_0+bt)+c=0\\ &(a^2+b^2)t+(ax_0+by_0+c)=0\\ &\therefore\quad t=-\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2} \end{aligned}

となります。このtを代入すれば、\textrm{H}の座標値がわかります。

点と直線の距離の公式

\textrm{P}と直線lの距離を求めることができます。これは\overrightarrow{\textrm{PH}}の大きさを求めるとわかります。\overrightarrow{\textrm{PH}}=t\bm nですから、

\begin{aligned} \textrm{P}\textnormal{\small\,と\,}l\textnormal{\small\,の距離}&=|t\bm n|\\ &=|t||\bm n|\\ &=\left|-\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}\right|\times\sqrt{a^2+b^2}\\ &=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{aligned}

となります。これが点と直線の距離の公式です。

[box04 title="点と直線の距離の公式"]
(x_0,\,y_0)と直線ax+by+c=0の距離をhとすると

h=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

[/box04]

点と直線の距離の公式はしっかりと覚えておく必要があります。覚えるときは、

  1. |ax_0+by_0+c|は伸ばしていった法線ベクトルの先なので、元の点の座標値を代入しなければいけない。また、法線ベクトルからどちら向きに伸びるかわからないので、絶対値をつける必要がある
  2. 分母は法線ベクトル\bm nの大きさ

の2点に注意しましょう。

 

 

 

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岡田

ラディカル高校数学管理人の岡田です。地方公立高校から一浪して東京大学理科一類に合格。現在工学部在学中。都内で塾講師として高校数学を教え、100人以上の生徒を見てきました。自分の経験を活かして高校数学をわかりやすく教える活動をしています!

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