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変数を文字で置き換えるときの注意点と実例

今回は、変数を文字で置き換えるときの注意点についてお話しします。

数式を見るときには、カタマリを見つけることが非常に大切です。

複雑な形をしている数式でも、カタマリをまとめることが出来れば、より簡単な形に帰着し、問題が解決できる場合が多いからです。

簡単な、というのは幅広い表現ですが、

  • 次数が低くなる
  • 既知の形になる

などが挙げられます。

例えば、

(x^2+2x)^2+4(x^2+2x)

という形は、X=x^2+2xと置くことで

X^2+4X

というより簡単な形になります。これを変数置換(または単に置換)と言います。

数学では、置換できるときには積極的に置換し、より簡単な式の形に落とし込んでいくと上手くいくことが多いです。そのためには、数式をよく観察し、見抜く訓練が重要です。

変数を置換したときには変域を生かす

さて、変数を置換したときに、ただ単に置き換えるだけでは済まないときがあります。それは、置換した後にさらに変数を動かさなければならないときです。

先ほど登場した式を関数f(x)とし、

f(x)=(x^2+2x)^2+4(x^2+2x)

としてもう一度考えます。今回は、式をf(x)という形で置いて関数とします。

この関数f(x)はどのような値を動くか調べてみましょう。ただし、xは任意の実数を動くとします。

問題

xが任意の実数を動くとき、

f(x)=(x^2+2x)^2+4(x^2+2x)

の最小値を求めよ。

さて、元のf(x)は4次関数なので、この形のまま考えるのは大変です。今はおあつらえ向きにx^2+2xというカタマリが見えますから、これを

X=x^2+2x

として変数置換します。

このとき、忘れてはならないことがあります。それは、置換したXの変域を調べることです。

いま、実数xは自由に任意の実数を取ることが出来ます。しかし、だからと言ってX=x^2+2xXも任意の実数を動くことが出来るかと言われれば、そうではありません。実際に、

X=x^2+2x=(x+1)^2-1\geqq -1

なので、X-1以上の値しか取ることは出来ません。どのようにxを動かしても、X-4-10といった値になることはないのです。よって、置換した先の関数ではこのXの変域を考慮して考えなければいけません。xを置換しても、xは死なずに生きているイメージです。

変数置換したことで、元の関数は

f(x)=X^2+4X

となり、そこに同時にX\geqq -1という条件が付帯します。この条件を忘れると答えがまったく違ってしまうので要注意です。繰り返します。

変数置換をしても元の条件は生きる

非常に重要な数学の鉄則です。

f(x)=X^2+4Xと書くと、左辺はxなのに右辺がXになっていて変な感覚がしますが、答案にX=x^2+2xとしっかり書いておけば右辺がXの関数でありながらxの関数であることは明確なので、あまり心配しなくても構いません。そんなことを気にする暇があったら、さっさと答えを出して次の問題に行きましょう。

f(x)=(X+2)^2-4であり、またX\geqq -1なので

f(x)\geqq f(X=-1)= -3

です。よって、f(x)は最小値-3であることが分かります。

 

 

 

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岡田

ラディカル高校数学管理人の岡田です。地方公立高校から一浪して東京大学理科一類に合格。現在工学部在学中。都内で塾講師として高校数学を教え、100人以上の生徒を見てきました。自分の経験を活かして高校数学をわかりやすく教える活動をしています!

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