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円の方程式の2通りの作り方

図形と方程式では、直線と円が主なテーマです。

今回は、円の方程式について説明します。

ポイントは、

  1. 中心と半径がわかるとき
  2. 直径の両端がわかるとき

の2通りから円の方程式を作れるようになることです。

中心と半径がわかるとき

まずは、最も基本的な円の方程式を作ってみましょう。

円の定義とは、中心から一定の距離にある点の集合であるということです。これを式に表すことで、円の方程式が作れます。

原点を中心とし、半径rの円Cがあるとします。点\textrm{P}が常に円C上にあるということは、

(\textrm{P}\textnormal{\small\,と円\,}C\textnormal{\small\,の中心\,}\textrm{O}\textnormal{\small\,との距離})=r

であるということです。これを両辺2乗すると

(\textrm{P}\textnormal{\small\,と円\,}C\textnormal{\small\,の中心\,}\textrm{O}\textnormal{\small\,との距離})^2=r^2

となります。ここで、\textrm{P}(x,\,y)とおくと

x^2+y^2=r^2

となります。これが円の方程式です。

同様に、中心が原点ではない円についても考えることができます。中心\textrm{A}(a,\,b)、半径rの円の方程式は、

((x,\,y)\textnormal{\small\,から}(a,\,b)\textnormal{\small\,までの距離})=r

より

\begin{aligned} \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r\\ \therefore\quad (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 \end{aligned}

となります。これが一般的な円の方程式です。

[box04 title="円の方程式"]

中心\textrm{A}(a,\,b)、半径rの円の方程式は

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

[/box04]

展開してみよう

ところで、円の方程式(x-a)^2+(y-b)^2=r^2を展開すると

x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-r^2)=0

となるので、円の方程式は必ず

x^2+y^2+Ax+By+C=0\tag*{①}

の形になります。ただし、の形は必ずしも円を表すとは限りません。元の形に戻すために平方完成をしてみると、

\left(x+\frac{A}{2}\right)^2+\left(y+\frac{B}{2}\right)^2=\frac{A^2+B^2-4C}{4}\tag*{②}

となります。そのため、A^2+B^2-4C<0のときに右辺が負になってしまい、を満たす実数x,\,yは存在しないのでは空集合(何の図形もない)となってしまいます。また、A^2+B^2-4C=0のときもは1点\left(-\dfrac{A}{2},\,-\dfrac{B}{2}\right)を表すので円ではありません。

が常に円となるとは限らないので、注意してください。円を表すかどうかは、x,\,yそれぞれについて平方完成してみれば分かります

直径の両端がわかるとき

状況によっては、直径の両端がわかっているときがあります。原理的には、このときも中心と半径がわかるのでそこから円の半径を出すことは出来るのですが、少し遠回りです。直径の両端から直接円の方程式を作る方法も考えてみましょう。

2点\textrm{A}(a_1,\,a_2),\,\textrm{B}(b_1,\,b_2)を直径の両端とする円をCとします。\textrm{P}(x,\,y)が常にC上にあるとき、直線\textrm{AP},\,\textrm{BP}の傾きがあるとすれば

\overrightarrow{\textrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\textrm{BP}}=0

となります。円周上の点は、直径の両端となす角が常に直角となることをベクトルで書けば、内積が0になるとして書き表せます。

この式を成分で表すと

\begin{aligned} &\hspace{2em}\dbinom{\,x-a_1\,}{y-a_2}\cdot\dbinom{\,x-b_1\,}{y-b_2}=0\\ &\therefore\quad (x-a_1)(x-b_1)+(y-a_2)(y-b_2)=0 \end{aligned}

となります。これもまた円の方程式です。

[box04 title="直径の両端がわかる円の方程式"]

2点\textrm{A}(a_1,\,a_2),\,\textrm{B}(b_1,\,b_2)を直径の両端とする円の方程式は

(x-a_1)(x-b_1)+(y-a_2)(y-b_2)=0

[/box04]

この形式を覚えるのは大変です。ただし、円周角が常に直角であることからベクトルの内積が0になることを利用し、直ちに書き下すことが出来れば十分です。

また、逆にこの形式の数式があるときに、「あ、これは両端が決まった円の方程式だな」と分かると問題の見通しがよくなるときがあるので、見たことがある程度には既視感があるとよいでしょう。

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岡田

ラディカル高校数学管理人の岡田です。地方公立高校から一浪して東京大学理科一類に合格。現在工学部在学中。都内で塾講師として高校数学を教え、100人以上の生徒を見てきました。自分の経験を活かして高校数学をわかりやすく教える活動をしています!

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