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円の接線の方程式の覚え方はベクトル!

円があるときに、そこから接線を引きたいときがあります。今回は、円の接線の方程式について解説します。

このときに、接線は円周上の点から引くことに注意してください。円の外側の点から円に接線を引くのではないので、注意してください。

原点を中心とする半径rの円x^2+y^2=r^2の円周上にある点\textrm{P}(x_0,\,y_0)における接線をlとし、l上の任意の点を\textrm{Q}(x,\,y)とします。このとき、接点から接線上を繫ぐベクトル\overrightarrow{\textrm{PQ}}は、円の中心から接点までのベクトル\overrightarrow{\textrm{OP}}と常に直交します。よって、

\overrightarrow{\textrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\textrm{PQ}}=0

が成立します。

これを成分にすると

\begin{aligned} &\hspace{2em}\dbinom{\,x_0\,}{y_0}\cdot\dbinom{\,x-x_0\,}{y-y_0}=0\\ &x_0(x-x_0)+y_0(y-y_0)=0\\ &\therefore\quad x_0x+y_0y=x_0^2+y_0^2 \end{aligned}

となります。ここで、点\textrm{P}は円周上にあるという条件があることを忘れてはいけません。よってx_0^2+y_0^2=r^2であるから

x_0x+y_0y=r^2

になります。これが円の接線の方程式です。

[box04 title="円の接線の方程式"]

x^2+y^2=r^2上の点(x_0,\,y_0)における接線の方程式は

x_0x+y_0y=r^2

である。

[/box04]

この結果は必ず覚えておく必要があります。

中心が原点ではない円の接線の方程式

中心が原点以外の点(a,\,b)である円

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

の接線の方程式についても考えてみましょう。

この円は、先ほど考えた原点中心の円からx軸方向にay軸方向にbだけズレています。

このように、どこかの基準が元の式からズレているときには、逆に基準点まで引き戻して考えてみることが定石の一つです。今回は、円が原点中心になるようにx軸方向に-a、y軸方向に-bだけ平行移動させます。このとき、元の円の接線も一緒に付いてきます。

そうすると、付いてきた先の接線l^\primeの方程式は、先ほどの原点中心の円の接線の方程式の公式が使えます。これで求めた後に、また平行移動して元に戻してあげれば、求めたい接線の方程式が求まります。

l^\primeは、x^2+y^2=r^2の点(x_0-a,\,y_0-b)における接線なので、その方程式は

l^\prime:(x_0-a)x+(y_0-b)y=r^2

となります。これをまたx軸方向にay軸方向にbだけ平行移動させるので、求める方程式は

l:(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2

となります。これが円の接線の方程式の一般形とも言えます。

[box04 title="円の接線の方程式"]

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2の点(x_0,\,y_0)における接線の方程式は

(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2

である。

[/box04]

 

 

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岡田

ラディカル高校数学管理人の岡田です。地方公立高校から一浪して東京大学理科一類に合格。現在工学部在学中。都内で塾講師として高校数学を教え、100人以上の生徒を見てきました。自分の経験を活かして高校数学をわかりやすく教える活動をしています!

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